对数函数在高考理科中的应用
一、对数函数的定义和性质
1. 定义
对数函数是指形如 \( y = \log_a x \) 的函数，其中 \( a > 0 \) 且 \( a \
eq 1 \)，\( x > 0 \)。
2. 性质
单调性：当 \( a > 1 \) 时，对数函数 \( y = \loga x \) 在 \( (0, +\infty) \) 上单调递增；当 \( 0 < a < 1 \) 时，对数函数 \( y = \loga x \) 在 \( (0, +\infty) \) 上单调递减。
奇偶性：对数函数 \( y = \log_a x \) 是奇函数。
值域：对数函数的值域为 \( (-\infty, +\infty) \)。
二、对数函数在高考理科中的应用
1. 解对数方程
例题：解方程 \( \log_2 (3x - 1) = 3 \)。
解答：
\( \log_2 (3x - 1) = 3 \)
\( 3x - 1 = 2^3 \)
\( 3x - 1 = 8 \)
\( 3x = 9 \)
\( x = 3 \)
2. 解对数不等式
例题：解不等式 \( \log3 (x + 2) > \log3 5 \)。
解答：
\( \log3 (x + 2) > \log3 5 \)
\( x + 2 > 5 \)
\( x > 3 \)
3. 求函数的最值
例题：求函数 \( y = \log_2 (x + 1) \) 在 \( (0, +\infty) \) 上的最大值。
解答：
由于 \( \log_2 (x + 1) \) 在 \( (0, +\infty) \) 上单调递增，因此函数的最大值在 \( x = +\infty \) 时取得。
\( \lim{x \to +\infty} \log2 (x + 1) = +\infty \)
函数 \( y = \log_2 (x + 1) \) 在 \( (0, +\infty) \) 上的最大值为 \( +\infty \)。
三、常见问题及回答
问题一：对数函数的底数 \( a \) 可以是任意实数吗？
回答：不可以。对数函数的底数 \( a \) 必须满足 \( a > 0 \) 且 \( a \
eq 1 \)。
问题二：对数函数的值域是什么？
回答：对数函数的值域为 \( (-\infty, +\infty) \)。
问题三：如何判断对数函数的单调性？
回答：当 \( a > 1 \) 时，对数函数 \( y = \loga x \) 在 \( (0, +\infty) \) 上单调递增；当 \( 0 < a < 1 \) 时，对数函数 \( y = \loga x \) 在 \( (0, +\infty) \) 上单调递减。